unidad 5: aplicaciones de la derivada

objetivo de la unidad 5 :

El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las disciplinas económico-administrativas. 

5.1- función creciente y decreciente 

lFunción creciente

f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple

Si f es derivable en a:

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

f(x) = x³ − 3x + 2

1. Derivar la función.

f '(x) = 3x² −3

2. Calcular las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3x² −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Se forman intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

4. Se toma un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente.

Si f'(x) < 0 es decreciente.

Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.

f ' (-2) = 3(-2)² −3 > 0

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.

f ' (0) = 3(0)² −3 < 0

Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.

f ' (2) = 3(2)² −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De crecimiento: (−∞, −1)  (1, ∞)

De decrecimiento: (−1,1)

Ejemplo

http://www.vitutor.net/1/funciones_1.html

http://www.ditutor.com/funciones/funcion_creciente.html

5.2: extremos relativos y extremos absolutos 

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

b = 0

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08     b = -3.08

Cálculo de máximos y mínimos relativos

5.3- prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Si se aplica la primera derivada a una función se conoce el comportamiento de ésta, en los puntos donde la derivada es cero (0) habrá un valor extremo, a continuación se muestran algunos ejemplos: - A partir de la siguiente función encuentre: a)Los puntos críticos. b)Valores máximos y mínimos. c)La gráfica de la función. f(x)= 4x2 + 5x - 3 a) PUNTOS CRÍTICOS: - obtener la derivada de la función: 8x + 5 - igualar con cero (0). f'(x)= 8x + 5 = 0 x = -5/8 b)MÁXIMOS Y MÍNIMOS:

- El punto crítico lo podemos obtener igualando con cero (0) la función derivada y despejando "x". - El valor de antes y después lo podemos obtener con un número menor (antes) que el punto crítico y un número mayor (después) que el punto crítico. - La primera derivada la podemos obtener sustituyendo el valor de antes y después en la primera derivada. - El comportamiento lo podemos deducir de la siguiente manera: Si el número de la primera derivada es positivo "sube", si el número es negativo "baja". - El resultado lo deducimos de la siguiente manera: Si primero "baja y luego sube" su resultado es Mínimo. Si el comportamiento es "Sube y luego baja" el resultado Máximo. c)GRÁFICA: La gráfica la podemos obtener sustituyendo en la función original el punto crítico y asi obteniendo los puntos del mínimo absoluto de la gráfica.

http://profecarlinis.galeon.com/aficiones1608405.html

5.4- concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Cálculo de los puntos de inflexión

f(x) = x³ − 3x + 2

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

f(0) = (0)³ − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)

Cálculo de los puntos de inflexión conociendo los intervalos de concavidad y convexidad

Los puntos de inflexión son los puntos de la función en que ésta pasade cóncava a convexa o vicecersa.

Ejercicios

Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que la función pasa de concava a convexa.

Punto de inflexión (0, 0)

Dominio

Problemas

Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x³ − 6x² + 4 en su punto de inflexión.

f'(x) = 6x²− 12xf''(x) = 12x − 121

2x − 12 = 0x = 1

f'''(x) = 12 f'''(1) ≠ 0 f(1) = 0

Punto de inflexión: (1, 0)

f′(1) = 6 − 12= − 6 = m

y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6

La curva f(x) = x³ + ax² + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.

f'(x) = 3 x ² − 6x+ 7

f''(x) =6 x − 6

6 x − 6 = 0 x= 1

f'''(x) =12 f'''(1) ≠ 0 f(1)= 6

Punto de inflexión: (1, 6)

m _t = f′(1) = 4 m _n = −1/4

Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0

Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0

Sea f(x) = x³ + ax² + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.

f'(x) = 3 x² + 2 ax + b f''(x) = 6x + 2a

f'(1) = 1 3 + 2a + b = 1

f''(1) = 0 6 + 2a = 0

a = − 3 b = 4

5.5-   Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio. 

Solucionar un problema de optimización

Para solucionar cualquier problema del tipo arriba, sigue los pasos a continuación (ya hicimos los primero cuarto en el primer ejemplo):

Por lo general		Ejemplo arriba
1. Identifica las incógnitas.
Estos son usualmente las cantidades que se preguntan en el problema.		x   e y
2. Identifica la función objetivo.
Esta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar.		A = xy
3. Identifica la rectricciones.
Estas pueden ser ecuaciones que relacionen las variables o desigualdades que expresen limitaciones para los valores de las variables.		5x + 3y = 60 x ≥ 0, y ≥ 0
4. Enuncia el problema de optimización.
Esto será de la forma "Maximizar (or minimizar) la función objetivo sujeto a la o las restricciones."		Maximizar A = xy   sujeto a 5x + 3y = 60 x ≥ 0, y ≥ 0
5. Elmina variables adicionales
Si la función objetivo depende de varias variables: Soluciona las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en términos de una variable particular. Sustituya estas expresiones en la función objetivo para expresarla como una función de una sola variable. También sustituya estas expresiones en las restricciones de desigualdad para determinar el dominio de la función objetivo.		Función objetivo A = xy   depende de x   e y. a. Soluciona la ecuación de restricción para x. x =       b. Sustituya esta expresión para x   en la función objetivo. A =       b. También sustituya esta expresión en la restricción de desigualdad x ≥ 0.      Usa  >=  para ≥ y  <=  para ≤. Por lo tanto, el dominio de  A   como una función de  y   es  ≤  y     ≤
6. Vuelve a enunciar el problema de optimización en términos de una sola variable sin ecucaciones de restricción.
Usa los resultados de las partes (a) y (c) de 5. arriba.		Maximizar  A =       sujeto a  ≤ y     ≤
7. Soluciona el problema de optimización ontenido en Paso 6.
UIsa los técnicos del tutorial anterior. CONCURSO Tu fábrica hace alternadores para coches, y la producción es parcialmente automatizada por el uso de robots. Los costos operativos diarios son $120 por trabajador y $20 por robot. Con el fin de cumplir con el plazo de producción, la fábrica estima que los números de trabajadores y robots deben satifacer la condición xy = 240,000,  donde  x   es el número de trabajadores e  y   es el número de robots. Suponiendo que la fábrica quiere cumplir con el plazo de producción a un costo diario mínimo  C  , ¿cuántos trabajadores y cuántos robots debe utilizar? Paso 1. Las incógnitas son C solo x, y, C x, y y, C x, C ¡Sácame de aquí!   Paso 2. La función objetivo es: C = xy − (120x + 20y) P = 240,000 − xy xy = 240,000 C = 120x + 20y − 240,000 P = xy C = 120x + 20y   Paso 3. La función objetivo es: xy = 240,000,  x ≥ 0,  y ≥ 0 x ≥ 0,  y ≥ 0 xy = 240,000, C = 120x + 20y C = 120x + 20y, x ≥ 0,  y ≥ 0 C = 120x + 20y no hay ningunas restricciones.   Paso 4. El problema de optimización es: Minimizar xy = 240,000 sujeto a C = 120x + 20y,  x ≥ 0,  y ≥ 0 Maximizar C = 120x + 20y sujeto a xy = 240,000,  x ≥ 0,  y ≥ 0 Minimizar C = 240,000 − xy sujeto a 120x + 20y = 0,  x ≥ 0,  y ≥ 0 Minimizar C = 120x + 20y sujeto a xy = 240,000,  x ≥ 0,  y ≥ 0 Maximizar xy = 240,000 sujeto a C = 120x + 20y,  x ≥ 0,  y ≥ 0 Maximizar P = xy sujeto a C = 120x + 20y,  x ≥ 0,  y ≥ 0      Paso 5. Soluciona la ecuación de restricción para y.  y =        Sustituir la expresión para y   en la función objetivo. C(x) =       Paso 6. Vuelve a enunciar el problema de optimización en términos de la una sola variable x   sin ecucaciones de restricción. Maximizar Minimizar     C(x) =     sujeto a  x ≥ 0. x>0.       Paso 7. Soluciona el problema de optimización ontenido en Paso 6. Los valores de  x   e  y   que resultan en el valor óptimo de  C   son http://www.zweigmedia.com/tuts/tutApplOptimization.html?lang=es 5.6- Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso. Elasticidad de la demanda: Matemáticamente se expresa de la siguiente manera, siendo: Ed la elasticidad, Qd la cantidad demandada y P el Precio:  La elasticidad de la demanda es el grado en que la cantidad demandada (Q), responde a las variaciones de precios (P) del mercado. En este caso, dados unos precios (P) y unas cantidades (Q) y un (P * Q) = Ingreso, tenemos que: Cuando la reducción del precio (P) hace que la cantidad demandada (Q) aumente tanto que la multiplicación de (P * Q) sea mayor a la original, se presenta una demanda elástica. Cuando la reducción del precio (P) hace que la cantidad demandada (Q) aumente en proporciones iguales y (P * Q) sea igual, la elasticidad es proporcional o igual a 1. Cuando la reducción del precio (P) hace que la cantidad demandada (Q) aumente muy poco o nada que la multiplicación de (P * Q) es menor a la original, se afirma que la demanda de un bien es inelástica o rígida. Elasticidad del ingreso. Al igual que la demanda puede ser medida por un coeficiente como la elasticidad precio de la demanda, ésta puede ser medida pero tomando como variable el ingreso de los consumidores. La ecuación es la siguiente: ηI=ΔQ/ΔI . I/Q En esta ecuación se mide la variación porcentual del consumo cuando aumenta el ingreso de los consumidores. Este coeficiente puede ser positivo o negativo. Si es positivo significa que el bien en estudio, el cual varía su consumo, es un bien normal, y si el coeficiente es negativo, el bien será inferior. Este coeficiente se puede estimar teniendo una función de demanda con los coeficientes respectivos, siguiendo los pasos dados en el caso de la elasticidad precio de la demanda. http://wikitel.info/wiki/Elasticidad_de_la_demanda. CURVAS DE DEMANDA RELATIVAMENTE INELASTICAS: Ante una variación en el precio la cantidad disminuye en una proporción menor. El coeficiente de elasticidad precio de la demanda es menor que uno. Este es el caso de bienes que tienen pocos sustitutos o algunos bienes básicos. Por ejemplo: la gasolina, etc. CURVAS DE DEMANDA HORIZONTALES: son perfectamente elásticas. Ante una variación mínima en el precio la cantidad demandada será cero. El coeficiente de elasticidad precio de la demanda es infinito. Este es el caso de bienes que tienen sustitutos perfectos. CURVAS DE DEMANDA RELATIVAMENTE ELASTICAS: Ante una variación en el precio la cantidad disminuye en una proporción mayor. El coeficiente de elasticidad precio de la demanda es mayor que uno. Este es el caso de bienes que tienen muchos sustitutos o algunos bienes suntuarios (bienes de lujo).