unidad 4: tópicos complementarios de diferenciación

objetivo unidad 4:

El alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y sus aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el concepto de diferencial y sus aplicaciones.

4.1- derivadas de funciones logarítmicas

 

Como , también se puede expresar así:

Derivada con logaritmo neperiano

Ejemplos

1. 

2.

3.

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

4.

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

5.

6.

http://www.vitutor.com/fun/4/b_4.html

4.2- derivada de funciones exponenciales 

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Ejemplos

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

http://www.vitutor.com/fun/4/b_3.html

4.3- diferenciación implícita 

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Ejemplos 

Derivar las funciones:

1. 

2. 

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

Ejemplo 

http://www.vitutor.com/fun/4/b_11.html

4.4- diferenciación logarítmica

Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo.

.

.

.

.

.

Ejemplos

.

.

.

.

Aplicamos la definición de logaritmo:

http://www.dervor.com/derivadas/derivacion_logaritmica.html

4.5- derivadas de orden superior 

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada: de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas. Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son: para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas: Ejemplos: Dada la función  obtener la segunda derivada y cuarta derivada: a)      Solución: derivando    b) Solución: para la primera derivada obtenemos como podemos ver, en este caso la función es derivable a cualquier orden. Al igual que en el caso anterior. c).-  Solución para la primera derivada obtenemos: d).- Solución:    obteniendo la primera derivada de la función (línea recta) obtenemos: al sacar la derivada a está línea paralela al eje x, obtenemos como podemos observar no tiene sentido sacar las derivadas de orden superior.

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/derivadas_de_orden_superior.htm 4.6-diferenciales  Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy. La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente. Ejemplos  4.7-Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.  El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional. Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad: Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad CMg = ∂CT / ∂Q El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos. El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos y los factores de producción. Siguiendo la teoría neoclásica, el gráfico del costo marginal en el corto plazo tiene forma de U debido a que para pocas unidades producidas se tiene mucho capital (insumos fijos) y pocos trabajadores (insumos variables), por lo que los primeros trabajadores aumentan mucho la producción debido a que tienen mucho capital disponible. A medida que se van agregando trabajadores, la producción sigue aumentando pero cada vez menos, porque el capital se mantiene fijo. El ingreso marginal está íntimamente relacionado con el costo marginal y su función. Así el ingreso marginal será la inversa a la anterior. Si el precio de venta es fijo, el ingreso marginal será creciente mientras el costo marginal sea decreciente y será decreciente cuando el anterior sea creciente ya que el ingreso marginal se calcula restando al precio el costo marginal de esa nueva unidad vendida. Estos cálculos son válidos siempre que el precio sea constante en un mercado de competencia perfecta, regulado por la teoría de la oferta y la demanda, para aumentar la cantidad vendida debe reducirse el precio de toda la producción por lo que el dato de ingreso marginal es anecdótico. Utilidad Marginal es el aumento o disminución de la utilidad total que acompaña el aumento o disminución de la cantidad que se posee de unBien. Un ejemplo que lo ilustra es el caso de una persona sedienta que encuentra un vaso de agua en el desierto. El primer vaso será extremadamente valorado. Pero si se toma un segundo vaso dicha valoración va a ser menor. El vaso número 10 probablemente no le generará ningún placer, pudiendo ocasionar incluso un malestar. http://www.eco-finanzas.com/diccionario/U/UTILIDAD_MARGINAL.htm     La propensión marginal al consumo se define como el aumento delconsumo con la renta disponible, matemáticamente puede expresarse como la siguiente derivada: Que explica cuánto varía el consumo cuando varía el ingreso. En el análisis de consumo keynesiano, se formula la siguiente expresión de consumo: Que se considera aproximadamente válida para intervalos de variación de la renta en los que la PMC permanece aproximadamente constante: = Consumo = Consumo autónomo o fijo. = Propensión marginal a consumir = Ingreso disponible  = Propensión marginal a ahorrar.   La propensión marginal al ahorro se define partir de la propensión marginal a consumir. Matemáticamente puede expresarse como la siguiente derivada: que explica cuánto varía el consumo cuando varía el ingreso. En el análisis de consumo keynesianismo, se formula la siguiente expresión de consumo: Que se considera aproximademente válida para intervalos de variación de la renta en los que la PMC permanece aproximadamente constante: = Consumo = Consumo autónomo o fijo. = Propensión marginal al consumo = Ingreso disponible  = Propensión marginal a ahorrar. 2.  3. Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1 mm su lado. S = x 2 dS = 2x dx d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2 http://www.vitutor.com/fun/4/b_12.html conclusión unidad 4:  En esta unidad vemos los tópicos de funciones logarítmica y exponenciales y sobre la diferenciación implícita  la derivada, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.