unidad 2 : limites y continuidad

objetivo unidad 2: 

 El alumno comprenderá la noción de límite y de continuidad de una función; las propiedades de los límites y los casos especiales de los límites. Aprenderá a calcular el límite de una función.

2.1 - definición de limite 

El límite de la función f(x) en el punto x₀, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x₀. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x₀.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x² en el punto x₀ = 2.

x	f(x)
1,9	3,61
1,99	3,9601
1,999	3,996001
...	...
↓	↓
2	4

x	f(x)
2,1	4.41
2,01	4,0401
2,001	4,004001
...	...
↓	↓
2	4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x₀, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δdependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x₀ que cumplen la condición|x − x₀| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

 si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x₀, E_δ(x₀), cuyos elementos (sin contarx₀), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, E_ε(L).

http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html

2.2- propiedades de los limites 

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

http://www.vitutor.com/fun/3/a_5.html

2.3- limites laterales 

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x   (a − δ, a), entonces |f (x) − L| < ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x   (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε .

El límite de una función en un punto si existe, es único.

Ejemplos

1. 

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

2. 

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

http://www.vitutor.com/fun/3/a_2.html

2.3 Limites al infinito 

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x  a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo

http://www.vitutor.com/fun/3/a_3.html

2.5 continuidad y discontinuidad 

discontinuidad:

Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en un punto.

La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.

La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite, ya que no coinciden los límites laterales..

La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.

http://www.vitutor.com/fun/3/b_4.html

continua :

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son continuas en x = a, entonces:

f + g es continua en x = a.

f · g es continua en x = a.

f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.

f ο g es continua en x = a.

http://www.vitutor.com/fun/3/b_3.html

2.6_Aplicaciones a las ciencias económicas administrativas: interés compuesto continuamente, límite de la función costo promedio. 

Interés compuesto continuamente

El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se han generado en un período determinado por un capital  inicial (C_I) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición, de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se re-invierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

Calculo del Interés Compuesto 

Para un período de tiempo determinado, el capital final (C_F) se calcula mediante la fórmula

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período

Repitiendo esto para un tercer período

y generalizando a n los períodos, se obtiene la fórmula de interés compuesto:

Donde:

 es el capital al final del enésimo período

 es el capital inicial

 es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

 es el número de períodos

 Límite de la función costo promedio.

En la Economía también es importante considerar la variación de una cantidad respecto a otra. Por ejemplo la demanda de un producto respecto a su precio, o el precio de un producto respecto a su costo de producción o la utilidad obtenida en la venta de un producto, con relación al costo de producción, etc.

Por lo anterior, es muy importante la representación de las cantidades relacionadas en forma de funciones que puedan ser derivables, no obstante que los datos que se manejan sean discretos, por ejemplo cuando se establece la función de costo , la variable x representa unidades de cierta mercancía.

En Economía se suele describir la variación de una cantidad respecto a otra mediante un concepto llamado promedio que expresa la variación de una cantidad sobre un rango específico de valores de otra y un concepto llamado marginal que expresa el cambio instantáneo en una cantidad respecto a la otra.

Un símil de los conceptos anteriores en Física serían los conceptos de velocidad promedio y velocidad instantánea o lo que geométricamente serían la pendiente de la recta secante y la pendiente de la recta tangente, respectivamente.

• Un ejemplo:
  

  • Si  es la función que representa el Costo Total en unidades monetarias para producir x unidades de cierta mercancía:
  • El costo promedio de producción de cada unidad, sería el costo total entre la cantidad de unidades de mercancía producidas, es decir: , a la cual se le llama función del Costo Promedio.
  • El costo marginal cuando  es , si esta cantidad existe. Y se interpreta como la razón de cambio instantánea del Costo Total con respecto al cambio unitario en las unidades producidas, cuando se producen  unidades.
  • De manera similar sería el Costo Promedio Marginal cuando  y que representa la razón de cambio instantánea del Costo Promedio cuando .

conclusión unidad 2:

en esta unidad se hablo sobre los limites el cual es el punto en el que se acerca a una función ya se lateralmente hay limites infinitos entre ellas puede que exista continuidad o discontinuidad esto nos ayuda para saber el costo promedio entre otras.