matematicas 1: unidad 3: derivada de una función

objetivo unidad 3:

El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción.

3.1-Definición de la derivada

Derivada de una función en un punto

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Ejemplos

1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x² en el punto x = 2.

2. Calcular la derivada de la función f(x) = x² + 4x − 5 en x = 1.

http://www.vitutor.com/fun/4/a_2.html

3.2-DIFERENCIACIÓN DE FUNCIÓN POR INCREMENTOS

Diferenciación de funciones reales de varias variables realesDiferenciación:
Incrementos y diferenciales.
Dada una función z = f(x, y), se llama incremento de la función, cuando x e y se incrementan ∆x e ∆y, a:
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)
y se llama diferencial total a:
dz =
∂z
∂x dx +
∂z
∂y dy = fx(x, y) dx + fy(x, y) dy
Diferencial de una función en un punto
Una función z = f(x, y) es diferenciable en (a, b) si su incremento se puede expresar como:
∆z = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y donde ε1, ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0)
para lo que se debe cumplir que:
lim
(x,y)→(a,b)
|f(x, y) − f(a, b) − fx(a, b)(x − a) − fy(a, b)(y − b)|
p
(x − a)
2 + (y − b)
2
= 0
Condición suﬁciente de diferenciabilidad:
Si una función y sus primeras derivadas parciales son continuas en un abierto, entonces es diferenciable en el
abierto.
Condiciones necesarias de diferenciabilidad:
Si una función es diferenciable en un punto entonces es continua y admite derivadas parciales primeras en el
punto.
Uso de la diferencial como aproximación:
Despreciando los términos que tienden a cero, si una función es diferenciable en (a, b) entonces se veriﬁca la
siguiente fórmula para la estimación de errores:
∆z ' fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y cuando ∆x, ∆y ' 0
Sustituyendo los incrementos por su expresi´on, se obtiene la siguiente fórmula de aproximación:
f(x, y) ' f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) cuando (x, y) ' (a, b).

http://matematicasdivertidillas.blogspot.mx/2015/05/32-diferenciacion-de-funciones-por.html?showComment=1432497144441#c7330954087090092074

3.3- la derivada como razón de cambio

La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.

A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o máximos locales dado que en esa posición la función no notaincrementos hacia una dirección en particular.

En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.

Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la derivada de la función de un vector o para una función con múltiples variables.

El símbolo griego delta, representado como un triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una variable. y significaría un cambio en el valor de y.

La pendiente de una línea recta se puede calcular como

La expresión anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se debe a que representa la diferencia entre dos cocientes.

La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo.

Supongamos que la tasa de cambio del número de migrantes de los años 1978 a 1988 es 2.16 mientras que es de 6.9 desde el año 1988 a 2008.

Así podemos notar que en el ejemplo anterior la tasa de cambio no es constante. En tal situación se puede calcular una tasa de cambio promedio en un intervalo.

Una fórmula general para representar una tasa de cambio promedio en un intervalo sería,

Aquí y es una función en términos de t, representando la ecuación y = f (t). El intervalo es considerado entre t = a y t = b.

Si la tasa de cambio es constante durante todos los intervalos, entonces tal función es llamada función lineal.

Si la tasa de cambio de una función se calcula sobre un tipo de intervalo o en un punto específico, entonces la llamamos tasa de cambio instantánea.

La tasa de cambio de una función g en un punto x, llamada la razón o tasa instantánea de cambio en x es el límite de la tasa promedio de variación de g a lo largo de intervalos cada vez más pequeños alrededor de x.

Como sabemos la variación en la tasa es un cociente de la diferencia, la tasa instantánea de cambio será el límite de esos cocientes.

La tasa de cambio instantánea es popularmente conocida por el nombre de derivada.

No es posible calcular la derivada de una función en algún instante determinado, por tanto la derivada de una función se calcula sobre un intervalo, aunque este intervalo sea muy pequeño.

Entonces el cálculo de la derivada de una función también se puede hacer mediante el cálculo de la tasa promedio de cambio en intervalos más cortos.

Considere a el tamaño del intervalo, entonces la tasa promedio de variación en el intervalo x + a y x será,

f(x + h) – f(x)/ (x + h) – x que puede ser escrito como, f(x + h) – f(x)/ h

Ahora bien, para determinar el valor exacto de la derivada, tome el límite de la función como h. Por lo cual la derivada de la función se calcula como,

Lim f(x + h) – f(x)/ h h → 0

http://mitecnologico.com/igestion/Main/ConceptosDeIncrementoYDeRazonDeCambioLaDerivadaDeUnaFuncion

3.4 diferenciabilidad y discontinuidad

Así como existen límites unilaterales también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado.

Arriba

v La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

Arriba

v En uno de los ejercicios (el número 6) resueltos que van a continuación se mostrará otro tipo de funciones que son continuas en algún número pero que no son diferenciables en el punto. Lo particular de dichas funciones es que tienen una recta vertical en dicho punto.

Resumidamente, podemos decir que una función no es diferenciable en un punto determinado por alguna de las tres razones siguientes:

La función es discontinua en el punto.
La función es continua en el punto, pero por la gráfica de f no se puede trazar una recta tangente que pase por el punto (como en la gráfica de la función valor absoluto en 0).
La función es continua en el punto, y la gráfica tiene una recta tangente vertical que pasa por el punto.

Arriba

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7, haga lo siguiente: (a) trace la gráfica de la función; (b) determine si f es continua en el punto dado; (c) calcule las derivadas por la derecha y por la izquierda, si existen; (d) determine si f es diferenciable en el punto dado

Arriba

S o l u c i o n e s

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/Diferenciabilidad_y_continuidad.htm

3.5-Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

Sean a, b, e y k constantes (números reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.

En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar.

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como

, también se puede expresar así:

Derivada del logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la función potencial-exponencial

Regla de la cadena

Derivadas implícitas

http://www.vitutor.com/fun/4/d_f.html

3.6-la regla de la cadena y de la potencia

Regla de la cadena

Sabemos que la composición de funciones consiste en definir funciones cuyas variables son a su vez otras funciones. En ocasiones utilizo con mis alumnos la expresión “funciones dentro de funciones” para describir esta operación. Para obtener la derivada con la regla de la cadena en el caso de la composición por ejemplo de dos funciones, tenemos que aplicar la regla de derivación a la función “exterior“, o sea la aplicamos a la que “engloba“, y luego multiplicar por la derivada de la función “interior“, es decir la que “es englobada“.

En resumen, la composición de dos funciones

se derivará mediante la regla de la cadena y nos dará

Esto se puede generalizar para el caso de la composición de tres, cuatro y más funciones. Luego os lo enseño en algún ejemplo.

Tabla de derivadas con la regla de la cadena

Podemos aplicar la regla de la cadena a todas las funciones que hemos ido describiendo en los artículos de la serie Aprender a derivar, considerando que cada una de ellas tiene como variable otra funciónf(x) en lugar de x. Os muestro en la siguiente tabla cómo quedarían las derivadas con la regla de la cadena.

Función	Derivada

Si tenemos:
Si tenemos:

Finalmente, aprender a derivar con la regla de la cadena

Ahora nos queda practicar lo aprendido y derivar con la regla de la cadena cualquier función que nos encontremos.

Os enseño unos ejemplos:

Resolución:
Resolución:
Resolución. Como os decía un poco más arriba, os presento un ejemplo de regla de la cadena en una composición de 3 funciones:
Resolución: